Semelhança de triângulo .

Dois triângulo são semelhantes quando eles tem os 3 Ângulos congruentes  ( iguais ) , então  os lados serão proporcionais . 

Casos de semelhanças : 

1º Caso: Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um são congruentes a dois do outro. Critério AA (Ângulo, Ângulo).

2º Caso: Dois triângulos são semelhantes se os três lados de um são proporcionais aos três lados do outro. Critério LLL (Lado, Lado, Lado).

3º Caso: Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais. Critério LAL (Lado, Ângulo, Lado).

Exemplos : (Unesp) A sombra de um prédio, em um terreno plano, em uma determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. A altura do prédio, em metros, é:

     

                   

Solução : Observando  que a sombra e o raio solar sempre determinam o mesmo ângulo. E com isso também  sabemos que a altura é uma medida de segmento de reta que faz um ângulo de 90°. Dessa maneira, temos dois ângulos correspondentes congruentes. Pelo caso  1 caso, AA, os triângulos formados pela sombra, altura e raio solar na imagem acima são semelhantes. 

x = 15
5     3 

3x = 15·5

3x = 75

x = 75
      3

x = 25

Solução 2:  Quando observamos que o triangulo é semelhante, percebemos que a base do triangulo 1 é 5 vezes maior que a do triangulo 2 , então se eles são proporcionais logo sabemos que o lado que procuramos do triangulo 1 também é 5 vezes maior do outro lado do triangulo 2 ,  logo sabendo que a altura do triangulo 2 é 5 , percebemos que então a altura do triangulo 1 seria 25 . 

Exemplo 2 : Qual é a medida do segmento BC?

Solução 1: Primeiro é preciso mostrar que os triângulos são semelhantes. Isso é verdade, pois possuem dois ângulos congruentes, o que configura o caso de semelhança AA. Assim sendo, calcularemos BC:

BC = 4
10     8

8BC = 10·4

8BC = 40

BC = 40
         8

BC = 5

Solução 2 : Analisando novamente as bases , percebemos que o triangulo 1 a base  é metade da base do triangulo 2 , e com isso podemos afirmar que a hipotenusa do triangulo  1 também será a metade da hipotenusa do triangulo 2 , logo percebemos que o tamanho seria 5 .

Exemplo 3 : Qual o valor de x nos triângulos a seguir?

Solução: Observando  que os dois triângulos são semelhantes pelo caso AA. Então , x é a medida do lado EF do triângulo maior, que, por sua vez, é correspondente ao lado CB do triângulo menor. Para descobrir a medida desse lado, teremos que usar  o teorema de Pitágoras: 

30² = 18² + c²

900 = 324 + c²

^c2 = 900 – 324

^c2 = 576

c= √576

c= 24 cm

Então ja que achamos c , sabemos que os lados são proporcionais podemos usar a razão entre eles . 

18 = 24
 36     x  

18x = 36·24

18x = 864

x = 864
      18

x = 48 cm.